Rødder – grundlæggende

Når man bestemmer et areal af et kvadrat ganger man sidelængden med sig selv:

$$A=a\cdot a=a^2$$

Det kan f.eks. være arealet af kvadratet med sidelængden 3:

$$A=3^2=9$$

Men hvordan går man den anden vej? Altså hvis man har et kendt areal, hvad skal sidelængden så være?

Vi kan plotte en graf for $f(x)=x^2$:

Bemærk grafens akser er ikke ens skaleret (springer ikke med samme størrelse per tern og ternene er heller ikke lige store, geometrisk set). Nu kan vi vælge arealet på y-aksen, f.eks. 10, gå til højre indtil vi rammer grafen og dernæst gå lodret ned og aflæse cirka-værdien for x. På grafen nedenfor ses at det er cirka 3,2.

Istedet for den relativt upræcise grafiske metode har matematikerne udviklet kvadratrodsfunktionerne som er den omvendte til “at opløfte i”, og vi kan beregne løsningen med meget stor præcision:

$$\sqrt{10}\approx 3,162277660168379$$

Det betyder at et kvadrat med sidelængden cirka $3,16m$ har et areal på $10m^2$. Bemærk: selve beregningen af $\sqrt{10}$ er ikke simpel og ikke noget vi har lyst til at udføre manuelt (selvom vi i princippet kunne). Heldigvis klarer lommeregneren det for os.

Vi kan også beregne sidelængden for en kube når vi kender kubens rumfang/volumen, men her skal vi bruge kubikroden istedet for kvadratroden:

$$\sqrt[3]{10}\approx 2,15443469$$

Det betyder at en kube med sidelængden cirka $2,15m$ har et rumfang på $10m^3$.

Generelt betegner vi nedenstående for “den n’te rod af a”:

$$\sqrt[n]{a}$$

Det giver mening at man kan finde en sidelængde i et kvadrat eller en kube ved at anvende henholdsvis $n=2$ og $n=3$, se f.eks. graferne for $x^2$ og $x^3$ nedenfor:

Kvadratrodsfunktionen og kubikrodsfunktionen gør det let at gå den modsatte vej. Men kan vi faktisk ikke også anvende andre rodfunktioner, f.eks. til $x^4$ og $x^{2,5}$ ?, se grafen nedenfor:

Det viser sig ikke at være et problem for matematikken, selvom det kan være vanskeligt (umuligt) at forestille sig en geometrisk figur som svarer til beregningen. Alligevel støder man på situationen f.eks. ved modellering af virkelige situationer ved potentiel regression.

Når n er 2 udelades n’et normalt og den funktion kaldes kvadratroden, når n er 3 betegnes funktionen kubikroden. De øvrige har ikke et navn og vi siger blot “den <tal>’te rod af …”.

$\sqrt[2,4]{x}$ er den 2,4’te rod af x.

$\sqrt[4]{x}$ er den 4. rod af x.

Nedenstående viser rodregnereglerne:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}, a\geq0$$	$$(\sqrt[n]{a})^m=a^{\frac{m}{n}}, a\geq0$$
$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}= \sqrt{a\cdot b} $$	$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}= \sqrt{\frac{a}{b}} , b\neq 0$$

Der findes en række gode danske videoer om rødder, se. f.eks.:
Martin Haspang’s “Rødder“.
matcasts: “Potenser og rødder“.
Matematikcenter’s “Rødder og potenser“.