Potenser – grundlæggende

Grundlæggende er en potens en kort skrivemåde for gentagne gangeoperationer med samme tal

$$a^5=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a$$

Man siger at man opløfter a i 5’te. Det nederste tal/bogstav kaldes grundtallet og det løftede tal kaldes eksponenten. Man kan også opløfte i et negativt tal og så betyder det:

$$a^{-3}=\frac{1}{a\cdot a\cdot a}$$

Opløfter man i 0’te betyder det noget helt særligt:

$$a^0 = 1$$

Nedenfor er vist grafen for et eksempel med grundtal 1,4 som opløftes i forskellige heltal:

Det ser ud til at der kan tilføjes punkter imellem de viste og at der derved kan dannes en sammenhængende graf. Med andre ord, kan man opløfte i ikke-heltal?

Det viser sig at det kan lade sig gøre, men det er ikke simple beregninger og heldigvis har vi lommeregnere og CAS værktøjer som klarer det for os i dag.

I den sammenhæng bør nævnes matematikere som Euler og en berømt matematiker Cauchy (Augustin-Louis Cauchy) som beviste at $a^x$ er en kontinuert funktion og at vi derfor kan opløfte (reelle) tal i et vilkårligt reelt tal. Det betyder at vi, selvom det umiddelbart ikke er intuitivt, kan opløfte f.eks. 3 i kvadratrod 2:

$$3^{\sqrt{2}} \approx 4,728804$$

Opløfter man i en særlig brøk, nemlig dem med 1 i tælleren så kan det bevises at det det samme som at beregne en rod (kvadratrod, kubikrod, osv):

$$a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$$

$$a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}$$

Der gælder følgende sætninger for potenser:

Potensregneregler
$$a^{n+m}=a^n\cdot a^m$$	$$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$
$$(a^n)^m=a^{n\cdot m}$$	$$a^0=1$$
$$(a\cdot b)^n =a^n\cdot b^n$$	$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$
$$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$$	$$a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}$$

Der findes mange gode videoer om potenser på dansk, se f.eks.:
Gert Friis Nielsen’s hurtige gennemgang af regnereglerne.
Martin Haspangs’ videoserie om “Potenser“.
matcasts “Potenser og rødder“.
Matematikcenter’s “Rødder og potenser“.