Differentialligninger – Separationsmetoden

Separationsmetoden

I gymnasiet introduceres en metode man kan kalde “opdel-og-integrér” metoden, den benævnes også separationsmetoden. Den går ud på følgende.

Givet en differentialligning på formen:

$$h(y)\cdot \frac{dy}{dx} = g(x)$$

Først adskilles x og y så de optræder på hver sin side af lighedstegnet, dermed får vi:

$$h(y)\cdot dy = g(x) \cdot dx$$

Dernæst integreres på begge sider, og vi skriver:

$$\int h(y) dy = \int g(x) dx$$

Hvis $H(y)$ er stamfunktion for $h(y)$ (mht $y$) og $G(x)$ er stamfunktion for $g(x)$ (mht $x$) kan vi skrive:

$$H(y)=G(x)+c$$

Integrationskonstanterne fra de to integrationer samles dermed i en ny vilkårlig konstant $c$ på højresiden.

Til slut isoleres $y$ ved at tage den omvendte funktion af $H$ dvs. $H^{-1}$ på begge sider, og vi har løsningsfunktionen $y$ til differentialligningen.

$$y=H^{-1} (G(x)+c)$$

Men der er flere ting som er problematiske ved den udledning. (a) For det første har vi lært at $\frac{dy}{dx}$ ikke må opfattes som en brøk, men derimod er en operator som differentierer $y$ med hensyn til $x$. (b) For det andet, giver det så overhovedet mening at integrere med hensyn til $y$ på den ene side af ligningen og med hensyn til $x$ på den anden side af ligningen? Ikke rigtigt, vel.

Metoden viser sig dog at give korrekte resultater og kan derfor opfattes som en procedure der hjælper til at man kommer frem til en korrekt ligning – men hvor nogle af trinene undervejs ikke er korrekt matematik.

Bevis for separationsmetoden

Vi ønsker at bevise at givet differentialligning på formen:

$$h(y)\cdot \frac{dy}{dx} = g(x)$$

Så gælder:

$$H(y)=G(x)+c$$

Først defineres $h$, $H$, $g$ og $G$ og deres sammenhænge:

$$H(y)=\int h(y) dy$$	$$\frac{dH(y)}{dy}=h(y)$$
$$G'(x)=g(x)$$	$$\frac{dG(x)}{dx}=g(x)$$

Først differentieres $H$ med hensyn til $x$ ved hjælp af kædereglen:

$$\frac{d H(y)}{dx} = \frac{d H(y)}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}$$

$$\frac{d H(y)}{dx} = h(y) \cdot \frac{dy}{dx}$$

Det ses at højresiden herover netop er lig med venstresiden i den differentialligning vi skal løse. Dermed kan differentialligningen omskrives:

$$h(y) \frac{dy}{dx}=g(x)$$

$$\frac{d H(y)}{dx}=\frac{d G(x)}{dx}$$

Det betyder at $H(y)$ og $G(x)$ har den samme afledte, og at de derfor generelt kun kan afvige med en konstant. Der gælder derfor at:

$$H(y)=G(x)+c$$

Det ønskede er hermed vist (QED).